Cours en ligne et simulateur de thermodynamique appliquée

Premier principe

PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Les expressions permettant de calculer les échanges d'énergie mécanique et thermique d'une masse fluide avec son environnement ont été établies dans une autre page.

Pour présenter le premier principe de la thermodynamique, nous commencerons par son expression pour les systèmes fermés, bien connue de tous, et nous la généraliserons pour les systèmes ouverts.

Le premier principe, connu aussi sous le nom de principe de l'équivalence ou principe de la conservation de l'énergie, exprime que l'énergie contenue dans un système isolé ou qui évolue selon un cycle fermé reste constante, quelles que soient les transformations qu'il subit. Les différentes formes que peut prendre l'énergie d'un système : énergie mécanique, énergie calorifique, énergie potentielle, énergie cinétique… sont toutes équivalentes entre elles au sens du premier principe.

DÉFINITION DE L'ÉNERGIE INTERNE U (SYSTÈMES FERMÉS)

A tout système physique fermé est attaché un scalaire U, fonction des seules variables d'état, et tel qu'on a en toute transformation réelle :

ΔU + ΔK = W + Q (1 )

K étant l'énergie cinétique du système, W le travail des forces externes, exprimé pour la masse totale du système et donné par la relation : W = WA + Wv, et Q la quantité de chaleur échangée par le système avec l'extérieur pendant la transformation considérée.

U est une grandeur extensive[2] appelée l'énergie interne du système, U + K est parfois appelée son énergie totale. Pour une phase[1] de masse m, U = m u, u étant l'énergie interne massique.

Rappelons que les variables d'état qui définissent, dans le cas le plus général, un système physique, appartiennent à quatre grandes catégories, dont seules les deux premières seront à considérer dans la plupart des applications que nous aurons à traiter ; la troisième ne sera utilisée que pour les mélanges de fluides et les réactions de combustion ; quant à la quatrième, elle n'interviendra pas ici :

  • les variables mécaniques, de position ou de déformation ;

  • la température[3] ;

  • les variables chimiques ;

  • les variables électriques.

On notera que de nombreux auteurs distinguent dans l'expression du premier principe le travail de la pesanteur (Wv) et celui des forces de pression (WA), et l'expriment donc sous la forme équivalente :

ΔU + ΔK + mg Δz = WA + Q

Pour un volume de contrôle infiniment petit, l'équation (1) devient :

dU + dK = dW + δQ (2)

Physiquement, le premier principe découle de la mise en évidence expérimentale du fait que, quelles que soient les transformations subies par un système donné, la somme W + Q ne dépend que de l'état initial et de l'état final. Il en résulte donc que W + Q est une fonction d'état[4] du système.

Mathématiquement, le premier principe indique que, alors que δW et δQ ne sont pas des différentielles exactes, leur somme en est une, et qu'elle est égale à la somme des variations de l'énergie cinétique et d'une fonction d'état[4] , l'énergie interne.

APPLICATION À UNE MASSE FLUIDE

Pour une phase[1] fluide simple, l'état physique du système, exprimé en grandeurs massiques, est caractérisé par les variables P, v, T, reliées entre elles par l'équation d'état. u est donc fonction de ces variables, ou plus précisément de deux d'entre elles.

Appliquons le premier principe à une transformation réversible[5] infiniment petite du fluide, en négligeant l'action de la pesanteur. Au cours d'une telle transformation, l'énergie cinétique reste constamment nulle, ce qui implique dK = 0. Par ailleurs δW = - Pdv, et δQ s'exprime sous la forme :  

δQ = du + Pdv (3)

Par identification avec l'équation calorimétrique, on retrouve bien :

qui est souvent utilisée comme définition de cv

L'équation précédente montre que, pour un échauffement à volume constant, sans frottements mécaniques, la chaleur échangée avec l'extérieur est égale à la variation d'énergie interne du fluide :

Q= u2 - u1

Cette relation est à la base des déterminations calorimétriques de u.

TRAVAIL FOURNI, TRAVAIL UTILE

Les opérations industrielles se déroulent généralement en continu, chaque composant (turbine, pompe, vanne...) recevant et évacuant de la matière en permanence. Le calcul de ces appareils doit donc être fait en système ouvert[6][6], et l’expression précédente, valable uniquement en système fermé[6], doit être généralisée.

Le principe du raisonnement consiste à suivre l'évolution d'un volume de contrôle fermé, et à calculer le travail des forces externes sur l'ensemble de ses frontières, en distinguant les sections de passage des fluides, les parois fixes, qui bien évidemment ne produisent ni ne reçoivent aucun travail, et les parois mobiles, au niveau desquelles s'exerce un certain travail que l'on appelle "travail utile[7]".

Machine en régime périodique

Dans le cas le plus fréquent (figure ci-dessus), on peut supposer que le composant fonctionne entre deux enceintes de grandes dimensions, où le fluide est en équilibre[8]. Les états amont (1) et aval (2) sont définis par leurs pressions et leurs températures supposées uniformes malgré les prélèvements et les apports dus à l'aspiration et au refoulement. Par exemple, un compresseur de turbine à gaz aspire dans l'atmosphère et refoule dans la chambre de combustion où règne une pression sensiblement uniforme.

Dans son passage de (1) à (2), chaque unité de masse de fluide reçoit, de la part des parois mobiles, le travail utile[7] , dont la connaissance est fondamentale, puisque son produit par le débit-masse donne la puissance mise en jeu (aux pertes mécaniques près dans les paliers et organes de transmission).

On peut facilement démontrer que, par unité de masse, un composant réalisant une transformation quelconque fournit un travail algébriquement égal au travail WA des forces de pression calculées en système fermé[6], augmenté du travail de transvasement, c'est-à-dire de la variation du produit Pv :

= WA + P2v2 - P1v1 = WA + Δ(Pv)

On remarquera que, dans la relation précédente, nous n'avons fait aucune hypothèse restrictive sur la nature des transformations dans la machine proprement dite. Nous avons simplement admis que la pression était uniforme et constante dans la suite des temps à l'entrée et à la sortie de la machine. La relation obtenue s'applique donc sous cette seule condition, quelles que soient les transformations intermédiaires, qu'elles soient réversibles ou non.

Cas particulier d'une transformation réversible

Si la transformation est réversible,

= WA+ P2v2 - P1v1

On reconnaît l'expression de l'intégration par partie, d'où :

L'ensemble de ces relations est susceptible d'une représentation graphique dans le diagramme de Clapeyron, qui correspond au plan (v,P), v en abscisse, P en ordonnée (figure ci-dessus). L'aire située entre la courbe 1-2 représentant la transformation et l'axe des abscisses est égale à l'opposé du travail des forces extérieures WA, tandis  que l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des ordonnées est égale au travail utile[7] .

On notera que ces surfaces dépendent du tracé de la courbe 1- 2 et donc que la seule connaissance des états initial et final ne suffit pas à déterminer WA et .

Mathématiquement, ce fait important résulte de ce que les expressions différentielles -Pdv et vdP ne sont pas des différentielles exactes. Physiquement, il s'explique par l'intervention d'une forme d'énergie autre que le travail mécanique, à savoir l'énergie thermique.

Si deux transformations réversibles différentes partant du même état initial 1 et aboutissant au même état final 2 ne correspondent pas au même travail utile[7], cela tient à ce que le fluide n'échange pas la même quantité de chaleur avec l'extérieur au cours de ces deux transformations.

C'est pour cette raison que nous notons les formes différentielles avec un petit δ (δWA, δ ) et les différentielles exactes par d.

TRAVAIL UTILE ET ENTHALPIE (SYSTÈMES OUVERTS)

Reprenons l'équation (1) et exprimons-la en fonction de et non plus de W, pour la masse totale du système.

Il vient :

ΔU + ΔK = W + Q = WA + Wv + Q = - Δ(PV) - mgΔz + Q

qui peut s'écrire :

Δ(U + PV) + ΔK + mg Δz = + Q

Appelons enthalpie la fonction d'état[4] H = U + PV et enthalpie massique la fonction h = u + Pv.

L'expression enthalpique du premier principe s'écrit donc en variables massiques (on notera que K, et Q sont dorénavant exprimés en grandeurs massiques) :

Δh + ΔK + gΔz = + Q (6)

Pour un volume de contrôle infiniment petit, cette équation devient :

dh + dK + gdz = δ + δQ (7)

En transposant le raisonnement précédent, on trouve que l'équation calorimétrique se met sous la forme :

δQ = dh - vdP (8)

et que :

qui est souvent utilisée comme définition de cp.

Cette notion de travail utile est loin d'être triviale. Sur le plan pratique cependant, elle ne pose pas de problème particulier : dans toutes les compressions et détentes en système ouvert[6][6], c'est le travail utile qui devra être considéré dans les calculs.

Le terme anglais pour désigner le travail utile est "shaft work".

  1. Phase

    On appelle phase un milieu continu jouissant des trois propriétés suivantes : - il est homogène (ce qui implique une température uniforme) ; - la vitesse en chacun de ses points est nulle dans un repère convenable ; - il n'est soumis à aucune force extérieure à distance (pression uniforme). Comme on le sait, la matière se présente sous trois phases : solide, liquide et gazeuse. Un système thermodynamique peut être constitué d'un seul corps pur, ou en comporter plusieurs. Dans ce dernier cas, le mélange est caractérisé par sa composition, molaire ou massique. Chacun des constituants du mélange peut se trouver présent sous une ou plusieurs phases. Si les constituants et leurs phases sont répartis uniformément dans le volume délimité par les frontières du système, le mélange est homogène, sinon il est hétérogène. Les propriétés d'un mélange dépendent bien évidemment de son homogénéité. La notion de phase joue un rôle très important en pratique, car on supposera toujours dans ce qui suit que tout système physique est décomposable en un ensemble de phases.

  2. Grandeurs extensives

    Un modèle physique fait intervenir des grandeurs représentatives de l'état d'un système, qui sont a priori fonction du temps et de la position du point considéré. Les grandeurs extensives, telles que la masse, l'enthalpie ou l'entropie, dépendent de la masse du système. Une grandeur extensive est additive : si un système est composé de plusieurs phases, les grandeurs extensives qui le caractérisent sont égales à la somme de celles des phases qui le composent. La masse ou l'enthalpie totale sont des grandeurs extensives.

  3. Température

    La notion de température peut être introduite de plusieurs manières différentes. Nous nous contenterons ici de la définition opérationnelle proposée par F. FER, qui repose sur les deux propositions suivantes : - on sait construire un thermomètre, appareil dont toutes les propriétés physiques sont, dans des conditions opératoires bien définies, fonction d'une seule variable, appelée température ; - on sait réaliser des milieux matériels tels que, lorsqu'un thermomètre y est plongé, son indication reste constante dans le temps et indépendante de son orientation et de la place qu'il occupe dans le milieu. On pose alors que la température du milieu est égale à celle du thermomètre, et on dit que le milieu est en équilibre thermique. A partir de cette présentation, il est possible de faire le lien avec les définitions axiomatiques de la température déduites par exemple du deuxième principe. Un exposé rigoureux et complet de cette notion sort cependant des limites que nous avons fixées pour cet ouvrage, et s'impose d'autant moins qu'elle est assez intuitive et que son utilisation pratique ne pose généralement pas de problème particulier.

  4. Fonction d'état

    Une fonction d'état est une grandeur dont la valeur ne dépend que de l'état du système, et non pas de son histoire.

  5. Transformation réversible

    On appelle transformation réversible entre deux états d'équilibre 1 et 2 une évolution fictive qui jouit des deux propriétés suivantes :

    • elle est suffisamment lente à tous points de vue (vitesses, échanges de chaleur et de matière...) pour qu'on puisse l'assimiler à une suite continue d'états d'équilibre ;

    • elle constitue la limite commune de deux familles de transformations réelles dont l'une mène de 1 à 2, et l'autre de 2 à 1.

  6. Systèmes ouverts et fermés

    Un système thermodynamique désigne une quantité de matière isolable de son environnement par une frontière fictive ou réelle. Ce système est dit fermé s'il n'échange pas de matière avec l'extérieur à travers ses frontières ; sinon il est dit ouvert. Les débutants sont souvent décontenancés par la distinction entre systèmes fermés et systèmes ouverts, ces derniers correspondant à un concept nouveau pour eux car au cours de leur scolarité de premier cycle, ils n'ont généralement étudié que des systèmes fermés (pour éviter la prise en compte des échanges de matière aux frontières).

  7. Travail utile

    On appelle travail utile le travail des forces de pression sur les parois mobiles d'une machine fonctionnant en système ouvert

  8. Equilibre (statique)

    Une phase est dite en équilibre statique, ou plus simplement en équilibre, si : - la pression et la température sont uniformes dans l'espace ; - toutes les variables d'état sont constantes dans le temps.

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